中国科学院研究生院
    2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
    科目名称：高等数学（乙）
    考生须知：
    1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
    2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
    一、选择题(本题满分40分，每小题5分。请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项，并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。每
    题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。)
    (1)设函数f(x)在x0处可导且导函数连续，lim
    f(x)2
    1，则f(0)()。
    （A）1（B）1
    x03xsinx
    （C）2（D）2
    (2)已知f()2，[f(x)f(x)]sinxdx5，则f(0)()。
    0
    （A）2（B）3（C）4（D）5
    (3)
    x2
    x(x1)2
    dx=()。
    1
    x21
    (A)ln
    
    C
    x1
    2
    (B)
    ln|x1|
    x2
    
    C
    x1
    1
    (C)ln
    
    C
    x1
    (D)
    ln(1x)2x1C
    (4)设函数F(x,y)关于x和y有一阶偏导数，且Fx(0,0)1，Fy(0,0)2，令
    zF(uv,veu),
    uarctant,
    vsint，则dz
    dt
    t0
    ()。
    (A)1(B)0(C)2(D)1
    (5)已知函数y
    则()。
    f(x)对一切x满足xf(x)3x[f(x)]21ex，若f(x)0(x
    0)
    （A）f(x0)是f(x)的极大值（B）(x0,f(x0))是曲线y
    f(x)的拐点
    （C）f(x0)是f(x)的极小值（D）f(x0)不是f(x)的极值
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    (6)设闭曲线L:
    x2(y1)22取逆时针方向，则曲线积分□xdyydx
    ()。
    （A）（B）2（C）2（D）22
    (7)使得积分1sinxdx(0)收敛的的最大取值范围是（）。
    0x
    （A）02
    （B）01
    （C）2
    （D）1
    (8)下列级数收敛的是（）。
    11111111
    （A）nlnn
    （B）1
    2345678
    (1)nsinn111n2
    （C）n2（D）2n(1n)
    n1
    n1
    二、(本题满分10分)求微分方程y2y2y4t2的通解。
    三、(本题满分10分)设D{(x,y)y0，x2y21，x2y22x}，计算二重积分  Dxydxdy。
    四、(本题满分10分)设在三维空间中某平面满足：（1）与xy坐标平面垂直，（2）过z轴，
    （3）与(x2)2(y2)2z21相切，求该平面的方程。
    五、(本题满分10分)
设f(x)anx n1，其中an满 1
    an1，1 n。求2f(x)d 0
    六、(本题满分10分)计算曲线积分Ixln(x2y21)dxyln(x2y21)dy，其中 L
    线L是定义域内第一象限（含坐标轴）中从点(2,0)到(0,2)的分段光滑曲线。
    七、(本题满分10分)设曲面为{(x,y,z)|zx2y2(0z1)}的外侧，求曲面积分
    x2dydz。
    八、(本题满分10分)求曲面xyz1上在第一卦限内，距离坐标原点最近的点处的切平面方程。
    九、(本题满分10分)求微分方程yy(y)2y2lny的通解。
    十、(本题满分10分)设函数f(x)在区间[A,B]上连续但不一定可导，AabB。证
    bf(xh)f(x)
    明：lim
    h0
    dxf(b)f(a)。
    h
    十一、(本题满分10分)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有二阶导数。证明：存在
    abba2
    c(a,b)使得f(a)2f2f(b)f(c)2。
    
    bb
    十二、(本题满分10分)设f(x)在[a,b]上连续，且af(x)dx0，axf(x)dx0。证明：在(a,b)上至少有两点x1,x2，使得f(x1)f(x2)0。

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